这一节是数量关系的最后一部分内容，主要包括排列组合与概率、牛吃草、工程问题、几何问题等。http://www.mankewenxue.com/497/497853/相对来说，这部分内容还是有一定难度的。可能对于理工科背景的考生来说，这部分内容涉及到了高中以及部分大学的知识。但行测考试与学校考试还是有很大差别，同学们需要快速地求解答案。因此，熟练掌握解题方法，快速求解答案就是这部分内容要求大家掌握的核心技巧。

一、排列组合

1.基本知识点

1.1 排列:从 m 不同元素中，任取 n 个元素（元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 m 个不同元素中取出 n 个元素的一个排列。

用式子表达为:

1.2 组合:从 m 个不同元素中取出 n 个元素形成一个集合，叫做从 m 个不同元素中取出 n 个元素的一个组合（不考虑元素顺序）。

用式子表达为:

排列:与顺序有关

组合:与顺序无关

2.策略

面对排列组合问题常用以下四种策略解题:

2.1 合理分类策略

1 类与类之间必须互斥（互不相容）；2 分类涵盖所有情况。简单的说，就是既不重叠，也不遗漏；3 分类意味着相加。

2.2 准确分步策略

1 步与步之间互相独立（不相互影响）；

2 步与步之间保持连续性；

3 分步意味着相乘，相乘意味着赋予了顺序。

3. 插板法模型:

m 个相同的元素，分给 n 个不同的空间里，每个空间至少 1 个，有多少种方法？

插板法模型的可直接运用所需要的三个条件:

（1）被分配元素相同；

（2）用来承载元素的空间（例如盒子、分组、分成堆）不同；

（3）每一个空间至少有 1 个元素。

4. 插空法

插空和插板一字之差，形式也差不多，但本质相差很多。插板法插入板子是为了分组，而插空法是插入实实在在的元素，从而满足不相邻的要求。

插空法分一般插空法和多次插空法。

某展览馆计划 4 月上旬接待 5 个单位来参观，其中 2 个单位人较多，分别连续参观 3 天和 2 天，其他单位只参观 1 天，且每天最多只接待 1 个单位。问:参观的时间安排共（

）种。

a.30

b.120

c.2520

d.30240

连续参观的则进行捆绑，视为一天（同一单位连续 2 天参观没有顺序的区别，连续 3 天参观同理），则 10 天还剩下 10-2-3+1+1=7 天，而且，其中有两天无单位参观，那么相当于从 7 天中选择五天参观，则有 c(7，5)*a（5,5）=a（7,5）=2520。注意，此处捆绑不需要将被捆绑的元素进行内部排列。

将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有多少种不同的方法？

a．8

b．10

c．15

d．20

这类题目，可以利用插空的思想，其中，先摆四盆黄花，因为要求红花不相邻，再在四盆黄花中间插空，有五个空，且同样颜色的花相同，则题意就是从五个空中选择三个，c(5，3)=10

大学生剧团从 8 名学生中选出 4 人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色，若其中有两名学生不能担任甲角色，则不同的挑选方案共有（ ）。

a.1200 种

b.1240 种

c.1260 种

d.2100 种

把 5 件相同的礼物全部分给 3 个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有几种？

a.3

b.4

c.5

d.6

某单位订阅了 30 份学习材料发放给 3 个部门，每个部门至少发放 9 份材料。问一共有多少种不同的发放方法？ （ ）

a.7

b.9

c.10

d.12

每个部门至少发放 9 份材料，不能直接运用插板法。

可以先给每个部门发放 8 份材料，还剩下 6 份材料，然后就可以运用插板法。c[图片]=10

提醒:学习基本模型的意义就在于，将题目转化为基本模型。

8 张相同的邮票分别装到 4 个相同的信封里面，每个信封至少 1 张邮票，有多少种方法？

a.6

b.5

c.8

d.7

枚举法。1115，1124，1133，1223，2222，共 5 种。

一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加 2 个新节目，有多少种安排方法? （ ）

a. 20

b.12

c.6

d.4

7 个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？

a.120

b.300

c.600

d.720

以正方体的顶点为顶点的四棱锥有（ ）个

a.48

b.36

c.24

d.18

四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？

a.6 种

b.9 种

c.12 种

d.15 种

每个人都不能品尝自己所做的菜，这种题型称为全错位排列。

n 个对象全错位排列的方法数用 an 表示，则

a1=0，a2=1，a3=2，a4=9，a5=44，……，an=（n-1）x（an-1+an-2）。

这题四个错排，种类数为 9。

二、概率

概率问题核心公式

1.单独概率＝满足条件的情况数÷总的情况数；

2.某条件成立概率＝1－该条件不成立的概率；

3.总体概率＝满足条件的各种情况概率之和；

4.分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积。

一道多项选择题有 a、b、c、d、e 五个备选项，要求从中选出 2 个或 2 个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是(

)。

a.1/15

b.1/21

c.1/26

d.1/31

某人进行一次射击练习，已知其每次射中靶心的概率是 80％，求此人 5 次射击中有 4 次命中的概率。

a.80％

b.60％

c.40.96％

d.35.47％

某商店搞店庆，购物满 200 元可以抽奖一次。一个袋中装有编号为 0 到 9 的十个完全相同的球，满足抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次，每次摸出一个球（球放回），如果第一次摸出球的数字比第二次大，则可获奖，则某抽奖顾客获奖概率是（ ）

a. 5%

b. 25%

c. 45%

d. 85%

每次摸出一个球（球放回），总方法数是 10x10=100，

两个球不相等的情况共有 10x9=90，其中第一次摸出的球数字比第二次大的情况占一半，有 45 种，

所以概率为 45/100=45%

有 7 件产品，其中有 3 件是次品。每次抽查一件产品（不放回），能够恰好在第四次找出 3 件次品的概率为（ ）。

a.1/7

b.9/56

c.4/35

d.3/28

某彩票设有一等奖和二等奖，其玩法为从 10 个数字中选出 4 个，如果当期开奖的 4 个数字组合与所选数字有 3 个相同则中二等奖，奖金为投注金额的 3 倍，4 个数字完全相同则中一等奖。为了保证彩票理论中奖金额与投注金额之比符合国家 50% 的规定，则一等奖的奖金应为二等奖的多少倍?

a.8

b.9

c.10

d.11

从 10 个数中选 4 个有 c10，4=210 种，全部正确只有一种（即一等奖为一种），所以中奖概率是 1/210；

二等奖的个数为:c4.3*c6.1=24 种，二等奖的概率为 24/210。设投注金额为 2（又是假设赋值的思想），因为二等奖为投注金额的 3 倍，所以有 x/210+3*24*2/210=2*50%，

所以有 x=66 元，则为二等奖 6 元的 11 倍。

1、牛吃草问题核心公式: y=(n?x)xt

1「y」代表原有存量（比如「原有草量」）；

2「n」代表促使原有存量减少的变量（比如「牛数」）；

3「x」代表存量的自然增长速度（比如「草长速度」）；

4「t」代表存量完全消失所耗用时间。

2、工程问题通常采用赋值法求解。

（消耗速度-生长速度）x 时间=剩下的总量

有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用 8 台抽水机 10 小时能把全池水抽干，或用 12 台抽水机 6 小时能把全池水抽干。如果用 14 台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是（ ）

a.5 小时

b.4 小时

c.3 小时

d.5.5 小时

不要设置多个变量，可以把一个变量设为 1

（8-x）x10=（12-x）x6=（14-x）xt，t=5

一个水库在年降水量不变的情况下， 能够维持全市 12 万人 20 年的用水量。在该市新迁入 3 万人之后，该水库只够维持 15 年的用水量。市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到 30 年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标？（ ）

a.2/5

b.2/7

c.1/3

d.1/4

12-x）x20=（15-x）x15=(15n-x)x30，（这个公式要熟用）

n=3/5,节约 1-3/5=2/5

有一块草地，每天草生长的速度相同，现在这片草地可供 4 头牛和 8 只羊吃 8 天，或者 7 头牛和 6 只羊吃 6 天，或者 12 头牛和 4 只羊吃 4 天.那么可供 10 头牛和 16 只羊吃几天？

a.4

b.3

c.2

d.1

建立起牛和羊的相对关系，假设牛每天吃一份，那么羊吃 n 份，于是有，（4+8n-x）x8=（7+6n-x）x6=（12+4n-x）x4=（10+16n-x）xt……（1），则 8（4+8n-x）+4（12+4n-x）=2x6（7+6n-x），得 n=0.5，代入（1），得 t=3

有一片牧场，24 头牛 6 天可以将草吃完；21 头牛 8 天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（ ）

a．8 　　b．10

c．12 　 d．14

（24-x）x6=8(21-x)x8,根据 6、21 是 3 的倍数，秒个 c。

在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果 10 个售票窗口，5 小时可使所有旅客买到票；如果 12 个售票窗口，3 小时可使所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的 1.5 倍，在 2 小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（　）

a.15

b.16

c.18

d.19

5（10-x）=3（12-x）=y，则可以得到 x=7，y=15，那么有 15=2（z-7*1.5），得到 z=18

a、b、c 三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路 900 米，李庄要修路 1250 米。已知 a、b、c 队每天分别能修 24 米、30 米、32 米，a、c 队分别在王庄和李庄修路，b 队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问 b 队在王庄工作了几天:

a.9 b.10 c.11 d.12

整体思想，已知总量为 1250+900=2150，效率和为 24+30+32=86，2150/86=25 天，那么，25 天里，a 队在王庄完成 25x24=600，剩余的 300 由 b 队完成，需要 300/30=10 天。

某工程班被派去抢修灾区路面，工程完成 1/3 时，一半人数被调去救援群众，剩下的一半人数继续工作 4 小时后， 两个新兵班被调来支援抢修，每个新兵班的效率是工程班的 35%，最终比原计划提前 3 小时完工，请问原定几小时完工？

a.48

b.42

c.54

d.60

相当于加入两个新兵班之后这段工作，时间提前按了 5 小时，效率比为 1:（0.5+1x35%x2）=5:6，时间 6:5=30:25，则原计划时间为（30+4/2）x3/2=48

蓄水池有两个进水口，正常情况下，单独开甲进水口，5 小时可以将蓄水池注满；单独开乙进水口，3 小时可以注满。现由于出水口出现渗水，同时开甲、乙两个进水口，2 小时才能注满。假定渗水速度恒定，如果单独开甲进水口，需要多少分钟才能将蓄水池注满？

a．300

b．360

c．400

d．480

时间比=5:3:2，工程总量看成 30，速度比=6:10:15，则渗水速度为 6+10－15=1，单独开甲，合速度为 6－1=5，时间=30/5=6 小时=360 分钟。

甲乙两个工程队修一条公路，甲工程队修了 500 米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的 2 倍，乙工程队修 600 米公路所用的时间比甲工程队修 500 米公路时间还少 20 天，甲工作队效率是（ ）米/天。

a.25

b.15

c.20

d.10

甲乙速度比=1:2，

甲修 500 米，乙修 600 米时间比=500/1:600/2=5:3=50:30,

则甲效率=500/50=10

某工程由小张和小王两人合作刚好可在规定时间内完成。如果小张的工作效率提高 20%,那么两人只需用规定时间的 9/10 就可完成工程；如果小王的工作效率降低 25%,那么两人就需要延迟 2.5 小时完成工程。问规定的时间是（）小时

a.20

b.24

c.26

d.30

小张效率提高 20% 后，总时间 10:9，速度 9:10，小张速度 5:6，则小张、小王原速分别为 5、4，

小王效率降低 25%，则小王速度变为 3，两人合速度变为 9:8，时间 8:9，规定时间为 8x2.5=20

一辆汽车将一批货物从 a 地运送到 b 地，又从 b 地运送另一批货物返回 a 地，往返共用了 13.5 小时，去时用的时间是回来时用的时间的 1.25 倍，去的速度比返回时的速度每小时慢 6 千米。a、b 两地之间距离为多少千米？

a.150 b.160 c.170 d.180

去时时间为 7.5 小时，回来时时间 6 小时，路程为 x 千米，x/6-x/7.5=6；选 d。

小张、小王同时从甲地出发，驾车匀速在甲、乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点。问小张的车速小王的几倍？

a.1.5

b.2

c.2.5

d.3

可直接列方程，因为是求倍数。设小王车速是 1，小张车速是 n；第一次相遇时间为 t1，第二次相遇时间为 t2，画图易得（nt2-t1）=(t1+nt1)，带入求得，n=2，选择 b。

小船顺流而下航行 36 公里到达目的地。已知小船返回时多用了 1 小时 30 分钟，小船在静水中速度为 10 公里/小时，问水流速度是多少？

a.8 公里/小时

b.6 公里/小时

c.4 公里/小时

d.2 公里/小时

选择 d。设水流速度为 v,带入公式 36/(10+v)=36/(v-10)+1.5,求得水流速度为 2。

环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人速度分别是 1 米/秒、3 米/每秒和 6 米/秒，问小王第三次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？

a.3 b.4 c.5 d.6

（3-1）t=400*3，t=600，（6-3）*600=1800,1800/400=4.5，选 b。

环形跑道的周长为 400 米，甲、乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16 秒后甲、乙相遇。相遇后，乙立即调头，6 分 40 秒后甲第一次追上乙。问甲追上乙的地点距原来的起点多少米？

a.8

b.20

c.180

d. 192

首先为相遇问题，400=（v 甲+v 乙）16；再次为追及问题，400=（v 甲-v 乙）400，解得 v 甲=13，v 乙=12，由甲路程 13（16+400），13*400 视为在围着跑道绕圈，忽略，13*16=208，选项无 208,400-208=192 答案选 d

鸡和兔被关在同一笼子中，上有 65 个头，下有 198 只脚，那么鸡、兔各有多少只？（ ）

a.28，37

b.29，36

c.30，35 d.31，34

方法一:假设法。如果全是鸡，65 个头，则有 130 只脚，实际多 198-130=68 只脚，每有一只兔子多