这部分主要讲述数量关系中常见的几种做题方法:比例法、十字交叉法、平均数、方阵与植树问题、容斥原理、抽屉原理以及最不利原则、统筹与优化。http://m.wangzaishuwu.com/367625/

数量关系题型多、方法非常灵活，但同学们在学习阶段一定要沉下心来，认真学习各种计算方法，熟记各种解题方法核心的计算模型，在做题的过程中通过快速阅读题干，迅速定位解题所需的方法和模型，再进行求解。在行测考试中，不能完全放弃数量关系部分，要拿出 100% 的努力，啃下数量关系这块硬骨头。

比例法的思想是关注数字之间的比例关系，并以此为做题的依据，而所谓的比例，其实就是将题目中的量视为份数，只关注他们之间的比例，进而通过和值和差值得到具体的量。比例关系是能够互相推导的，比如在路程问题里，路程一定，则速度与时间成反比，在经营类问题里，单价一定，则数量与总价成正比等等。比例法非常重要，不只是一种方法，更是一种思维！

1、比例倍数判定

1.如果 a: b=m:n(m, n)互质，则 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数。

2.如果 a: b=m:n(m, n)互质，则 a±b 应该是 m±n 的倍数。

注意:条件是 m、n 互质，即是最简比。

2、等比定理

若 a:b=c:d（其中 b,d≠0），则（a+c）:（b+d）=（a-c）:（b-d）=a:b=c:d（和分比和差分比定理）；

3、简单示例:如果两个数字之比是 3:2，两个数字之和是 10，请问两个数字分别是多少？如果两个数字之比是 3:2，两个数字之差是 2，请问两个数字分别是多少？所谓的比例，是两个数字之间的比例，可以理解为份数，比例法的适用范围极广，务必掌握并熟练！

两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是 3:1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？

a. 31:9

b. 7:2

c. 31:40

d. 20:11

3:1=15:5,4:1=16:4，则体积比是（15+16）/(5+4)=31:9 选择 a

运用比例法的时候，列出两个比例式，首先要通过已知条件把他们的比例尺度（相当于单位）化为一致。如本题两个相同的瓶子，代表酒精与水的体积是相同的，

而原来 3:1 中 3+1=4,4:1 中 4+1=5，为了表示成体积一致，我们就要找 4 和 5 的公倍数，然后使两比例左右两边数字之和相等,本题 3:1=15:5，4:1=16:4，这样 15+5=20,16+4=20，体积相同，两比例的比例尺度（单位）就相同了，就可以直接进行加减运算。

某快速反应部队运送救灾物资到灾区。飞机原计划每分钟飞行 12 千米，由于灾情危急，飞行速度提高到每分钟 15 千米，结果比原计划提前 30 分钟到达灾区，则机场到灾区的距离是多少千米:

a.1600

b.1800

c.2050 d.2250

在行程问题里，比例法有着广泛的应用（为什么？）。速度比 12:15,4:5，时间比 5:4，差一份，一份对应 30 分钟，那么 5 份就是 150 分钟，150 分钟对应较慢的速度，也就是 12 千米。150x12=1800，选 b。

一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的 3 倍。现该船靠人工划动从 a 地顺流到达 b 地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少 2/5。问船在静水中开足动力浆行驶的速度是人工划船速度的多少倍?（ ）

a.2

b.3

c.4

d.5

人工划船速度=人速+水速

（人速+水速）:水速=3:1，人速为 2 份，水速 1 份。

开足动力桨返回，时间比来时少 2/5,则变为原来的 3/5,即时间为 3:5，则（动力桨速度-水速）:（人速+水速）=5:3，则得到动力桨速度为 6 份。动力桨速度/人速=6/2=3

对于这种类型的题目，即 m=ab，运用比例法求解，我们首先要找到不变量，然后再找出剩余两个量之间的比例关系。

某小区有 40% 的住户订阅日报，有 15% 的住户同时订阅日报和时报，至少有 75% 的住户至少订阅两种报纸的一种。问订阅时报的比例至少为多少？(

)

a.35%

b.50%

c.55%

d.60%

订阅日报+订阅时报+都不订阅-都订阅=100%；40%+x-15%+25%=100%，因此选择 b。

工厂组织职工参加周末公益活动，有 80% 的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动人数比为 2:1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的 50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（

）。

a.20%

b.30%

c.40%

d.50%

设两天都参加的为 x，只参加周日为 2x，只参加周六为 5x，则未参加活动为 2x，所求为 2/5=40%，选择 c。

针对 100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山，8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点。则不喜欢这三个景点中任何一个的有（ ）人。

a.20 b.18 c.17 d.15

e.14 f.13 g.12 h.10

a 28+30+42+8+10+5-3=80,100-80=20，选择 a;

某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为 90%，调查对象中有 179 人使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有 115 人，使用其中两种的有 24 人，另有 52 人这三种方式都不使用。问这次调查共发出了多少份问卷？（ ）

a. 310

b. 360

c. 390

d. 410

179+146+246-115*2-24+52/90%，选择 d。

出版社新招了 10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这 10 人中，会法文的比会英文的多 4 人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？

a. 2

b. 0

c. 3

d. 1

设只会英文的有 x 人，会英文为 x+1 人，会法文 x+5，会日文 x+5/2，x+x+1+x+5/2=10 x=1；选择 d。

求最大、最小值，在计算的过程中要学会运用极限原则、方程计算等。

有 300 名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有 100、80、70 和 50 人。问至少有多少人找到工作。才能保证一定有 70 名找到工作的人专业相同？

a.71

b.119

c.258

d.277

69*3+50+1=258;c

某单位五个处室分别有职工 5、8、18、21 和 22 人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人。问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过 15 人？

a.34

b.35

c.36

d.37

5+8+7+7+7+1；b

一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的 100 家商铺。已知甲检查过 80 家，乙检查过 70 家，丙检查过 60 家，则三人都检查过的商铺至少有（ ）家。

a.5

b.10

c.20

d.30

甲没检查过的有 20 家，乙没检查过的有 30 家，丙没检查过的有 40 家，100-20-30-40=10。答案选 b

某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？

a.10

b.11

c.12

d.13

由行政部门毕业生人数比其他部门都多，问行政部门毕业生人数至少，则所求为其他部门人数最多，设行政部门为 x 人，其他部门均为 x-1 人，x+6（x-1）=65，x=10.1；选择 b

某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第 5 多的城市有 12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？

a. 2

b.3

c.4

d.5

排名前五的城市分别有 16.15,14,13,12 家专卖店，剩下 5 个城市有 30 家店，中位数为 6，排名最后一位城市有 4 家专卖店； c

有 100 人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中，未参加跳远的有 50 人，未参加跳高的有 60 人，未参加赛跑的有 70 人。问至少有多少人参加了不止一个项目？

a.7

b.10

c.15

d.20

设 b 为满足两个条件，c 为满足三个条件，由公式 a+b+c-b-2c=所有-都不，则 50+40+30-b-2c=100，则 b+2c=20,所求至少有多少人参加了不止一个项目为 b+c,b+c 最小，c 最大，则 c 最大为 10，所求 b+c=10； 答案选 b

十字交叉法的本质是方程式的变形，证明如下:

一个集合中的个体，只有 2 个不同的取值，部分个体取值为 a，剩余部分取值为 b。平均值为 c。求取值为 a 的个体与取值为 b 的个体的比例。假设 a 占的比例是 x，则 b 占的比例为（1-x）。

ax+b（1-x）=c

x=(c-b)/(a-b)

1-x=(a-c)/(a-b)

因此:x∶（1-x）=（c-b）∶(a-c)

上面的计算过程可以抽象为:

x

a

c-b

c

1-x　b

a-c

在溶液问题中（溶液问题是十字交叉的典型模块），假设浓度为 a 的溶液有 m 克，浓度为 b 的溶液浓度有 n 克，两者混合浓度为 c，则存在以下关系:(am+bn)/(m+n)=c,可以推得 m/n=(c-b)/ (a-c)。

例如，现在有浓度为 20% 的盐溶液和浓度 15% 的盐溶液，混合在一起，得到浓度为 18% 的溶液，求两种溶液的质量比。

20%

3%

18%

5%

2%

很容易看出，二者质量比是 3:2

在实际应用中，很多时候在溶液问题上，我们不需要应用十字交叉法，可以采用更为简单的利用溶剂、溶液、溶质三者之间的关系，列式得出。

甲杯中有浓度为 17% 的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23% 的溶液 600 克。两杯混合后，混合溶液的浓度是多少( )23-x*600=400(x+7)

a.20%

b.20.6%

c.21.2%

d.21.4%

方法一:十字交叉法。设混合后溶液的浓度为 x%

一、平均数

总和＝平均数x个数

等差数列中:平均数=中位数=（首数+尾数）÷ 2

一个房间里有 10 个人，平均年龄是 27 岁。另一个房间里有 15 个人，平均年龄是 37 岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（ ）270+370+185=640+185=825,825/25=33

a.30

b.31

c.32

d.33

:直接算。

（10x27+15x37）/(10+15)=33，答案选择 d

为估算湖中鲤鱼的数量，某人撒网捕到鲤鱼 300 条，并对这 300 条鱼作了标记后又放回湖中，过了一段时间，他又撒网一次捕到鲤鱼 200 条，发现其中鲤鱼有 5 条有标记，由此估算湖中鲤鱼的数量约为:

a. 1200 条

b. 12000 条

c. 30000 条 d. 300000 条

300 条做了标记，那么有标记的鱼占总数的比例为 300/x，而下一次捕到的 200 条中有 5 条带标记，则有 300/x=5/200,得到 x=12000。此题的意思相当于，平均 40 条有一条带标记，那么 300 条带标记的鱼占总数的比例。答案选 b

甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是 55、58、62、65。这四个人中年龄最小的是（ ）。

a.7 岁 b.10 岁 c.15 岁 d.18 岁

将 55、58、62、65 直接相加，其值等于原来四个数之和的 3 倍，于是得到(55+58+62+65)/3=80，所以最小的数字就是 80-65=15。答案选 c

某班一次期末数学考试成绩，平均分为 95.5 分，后来发现小林的成绩是 97 分，被误写成 79 分，再次计算后，该班平均成绩是 95.95 分，则该班人数是:

a.30 人 b.40 人 c.50 人 d.60 人

增加的分数不过是被全体同学平均分配罢了，那么有，（97-79）/人数=95.95-95.5,那么有人数=40 答案选 b

小王和小李一起到加油站给汽车加油，小王每次加 50 升 93#汽油，小李每次加 200 元 93#汽油，如果汽油价格有升有降，那么给汽车所加汽油的平均价格较低的是:

a 小王 b 小李 c 一样的 d 无法比较

我们用十字交叉法的原理来理解，对于小王，他加高价格和低价格的油的数量是一样多的（都是 50 升），而对于小李，购买高价格的油的数量自然少于低价格的油，所以平均价格较低。所以此题选 b。

方阵实际上就是一个等差数列，每一层就是一项，每一层边长之差为 2，人数之差为 8。

周长=边长x4-4=（边长-1）x4；

方阵总人数=最外层每边人数的平方（面积）；

方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）+1；

方阵每相邻两层人数之差为 8；

去掉 m 行、n 列的矩阵，人数减少=列边长xm+行边长xn-mn；如果是增加，视为负数即可。

某部队阅兵，上级要求其组成一个正方形队列。预演时上级要求将现有队形减少一行一列，这样将有 35 人被裁减。那么原定参加阅兵士兵多少人？

a.289

b.324

c.256

d.361

方法一:代入法。答案应满足是完全平方数，且选项减去 35 也是完全平方数。只有 b（对于完全平方数的熟悉有助于迅速得到答案）。答案选 b

方法二:设方阵最外层每边人数为 n，则减少一行一列，人数减少:n+n-1=35,n=18,总人数为 182=324

有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有 68 人，中间一层共有 44 人，则该方阵士兵的总人数是（ ）24/8=3.44*7=308

a.296 人

b.308 人

c.324 人

d.348 人

方法一:中间一层共有 44 人，中间一层x层数=总人数，则总人数是 11 的倍数，只有 b。

方法二:直接计算，（68-44）/8=3，则共有 7 层。

总人数为 44x7=308

方法三:直接枚举，每层差 8 人，则有 68，60，52，44，36，28，20 加起来即可。

植树问题主要有两种基本类型:非封闭问题和封闭问题。在非封闭问题里，树木的数量=间隔+1，即要计算端点位置的数木，在封闭问题里，树木的数量=间隔，这是因为起点和终点重合。

注意:与此类似的，还有数字的数量=数字的间隔+1，日期的数量=日期的间隔+1 等等，都是类似的原理。

某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔 5 米种 1 棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩 20 棵。若每隔 4 米种 1 棵树且路尾最后两棵树之间的距离为 3 米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为( )。

a.195 米

b.205 米

c.375 米

d.395 米

设路程为 s，则 2s/5+2+20=2（s+1）/4+2,s=195 答案选 a

某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的( 不相交 )两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，则少 2754 棵；若每隔 5 米栽一棵，则多 396 棵，则共有树苗（

）。

a.8500 棵

b.12500 棵 c.12596 棵

d.13000 棵

方法一:方程法。设共有树苗 x，根据路长相等，可以得到相等关系:(x+2754-4)x4=（x-396-4