在一个曲面上，有相同的起点和相同的终点的两条曲线连续曲线уi:t→φi(t)(0≤t≤1，i=1，2)称为是同伦的，如果存在到这个曲面里的连续映射(t，u)→φ(t，u)(0≤t≤1，0≤u≤1)，使得φ(t，0)呏φ1(t)，φ(t，1)呏φ2(t)，φ(0，u)呏φ1(0)，φ(1，u)呏φ1(1)。

曲面上，固定端点的闭曲线组成的同伦等价类以曲线的连接，作为乘法运算，组成一个群，叫做曲面关于，这个定点的基本群。

关于不同点的基本群，是互相同构的。

基本群，只包含一个元素的曲面叫做，单连通曲面。

没有枝点的覆盖曲面，叫做光滑覆盖曲面。

设?使愞，成为F的光滑覆盖曲面。

若у=?，其中的和у分别是愞和F上的曲线，则称是у的提升。

若对于任意的у嶅F和任意的以у的起点，为投影的慉∈愞，у的以慉为起点的提升总是存在的，则称愞是F的正规覆盖曲面。

光滑性保证指定，起点的提升的惟一性。

单值性定理称：若愞是F的正规覆盖曲面，则对于F上的任意两条互相同伦的曲线v1和v2以及愞中任意的以v1和v2的公共起点为投影的点慉，v1和у2的以慉为起点的提升和2总有公共的终点，并且，1和2也是同伦的在愞上。

复变函数论中，关于解析函数元素，沿曲线解析开拓的单值性定理，是这个定理的一个具体应用。

单连通的正规覆盖曲面，叫做万有覆盖曲面。

对于任意的一个曲面F，它的万有覆盖曲面愞总是存在，而且在共形等价的意义下是惟一的。

当F是一个黎曼曲面时，可使愞也成为一个黎曼曲面，而投影?是解析映射。

著名的单值化定理称：单连通的黎曼曲面一定共形等价于╦(闭)、C抛物型或单位圆双曲型。

若愞=╦，则F=╦。

如果愞=C，则F=C，C\{0}，或是环面环面就是亏格为1的闭曲面；反过来，环面的万有覆盖黎曼曲面一定是C。

当愞是单位圆时，满足?。

φ=?的共形映射φ叫做覆盖变换组成一个，富克斯群。

因此，除去上面几种特例外，每一个黎曼曲面都可表示成单位圆关于一个富克斯群的商；因而，分式线性变换组成的间断群(即克莱因群，包括富克斯群)的理论和黎曼曲面理论，有紧密的联系。

若这里的F是完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面，则G(?(t))和Z(?(t))t∈╦，C，或单位圆都是半纯函数，多值函数w=g(z)经参数t叫做单值化参数单值化了。

从而就解决了，著名的希尔伯特第22问题，即单值化问题。

在一个黎曼曲面上，若对每一个局部参数z都定义了，一个微分?(z)dz?(z)是半纯函数，而与相邻的两个参数z和ζ对应的?(z)dz和φ(ζ)dζ满足关系?(z(ζ))·z┡(ζ)=φ(ζ)，则称在曲面上，定义了一个半纯微分。

半纯函数(或半纯微分)在某一点的零点或极点的级，等于在取定一个局部参数后，该函数或该微分在这个参数下的表示形式中的系数作为这个局部参数的函数，在该点的零点和极点的级。

黎曼－罗赫定理称:在一个亏格为g的闭曲面上，指定了点p1，p2，…，ps;q1，q2，…，qt和正整数k1，k2，…，ks;n1，n2，…，nt，令。

设以pi为至多ki级极点(或至少ki级零点，i=1，2，…，s)，并且以qi为至少ni级零点或至多ni级极点，i=1，2，…，t的半纯函数(或半纯微分)组成的复数域上的线性空间的维数为A或B，那么，A=B+m-g+1。

这个定理，是闭黎曼曲面理论的一个基本结果；在一定条件下，也被推广到，开曲面和高维复流形。。

精星灵，曰:“举例说明。黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广了直观的理解和动力。Riemann-Roch定理就是这种影响的最佳例子。令X为一个豪斯多夫空间(Hausdorffspace)。一个从开子集U?X到C的子集的同胚称为图(chart).两个有重叠区域的图f和g称为兼容，如果映射fog-1和gof-1是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图集(ats)。当我们赋予X一个图集A，我们称(X，A)为一个黎曼曲面。如果知道有图集，我们简称X为黎曼曲面。不同的图集可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是一个更大的图集的子集。根据佐恩引理(Zorn'sLemma)每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z)=z(恒等映射)定义了C的一个图，而是C的一个图集.映射g(z)=z*(共轭)映射也定义了C的一个图而也是C的一个图集.图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A，共轭图集B={f*:f∈A}总是不和A相容，因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构。类似的，每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面。更一般的，每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。令S=C∪{∞}并令f(z)=z其中z属于S\{∞}并且令g(z)=1/z其中z属于S\以及定义1/∞为0.则f和g为图，它们相容，而{f，g}是S图集，使S成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为黎曼球因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不象复平面，它是一个紧空间。”

月净威，哈佛大学科学家，道:“紧黎曼曲面，可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效。非紧黎曼曲面的例子由解析连续给出。两个黎曼曲面M和N之间的函数f:M→N称为全纯(holomorphic)，如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h，映射hofog-1在有定义的地方是全纯的(作为从C到C的函数)。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面M和N称为保角等价(或共形等价conformallyequivalent)，如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于的实际应用来讲是完全相同的。每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C∪{∞}或开圆盘{z∈C:|z|<1}保角等价。这个命题称为一致化定理。”

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